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En todos los tiempos, en escuelas y universidades se ha estimulado y cultivado el pensamiento lógico o vertical, pero éste, si bien es eficaz, resulta incompleto. El pensamiento lógico, selectivo por naturaleza, ha de complementarse con las cualidades creativas del pensamiento lateral. El pensamiento lateral es el conjunto de procesos destinados al uso de información de modo que genere ideas creativas mediante una reestructuración perspicaz de los conceptos ya existentes en la mente.

El pensamiento lateral está íntimamente relacionado con los procesos mentales de la perspicacia, la creatividad y el ingenio. Se trata de una forma definida de aplicar la mente a un tema o problema dado, oponiendo nueva información con ideas viejas. Se obtendría así una modificación de la idea antigua como resultado de los nuevos conocimientos.

La enseñanza se fundamenta en el supuesto de que es suficiente una comunicación eficaz de la información para que ésta se ordene automáticamente en ideas útiles. Con ese fin hemos desarrollado medios para el mejor tratamiento de la información, tales como operaciones matemáticas y el pensamiento lógico. El método más eficaz para transformar ideas no es externo, como la contraposición de nuevas ideas, sino interno, mediante la reestructuración de la información disponible a la luz de la perspicacia (por perspicacia se entiende en el contexto de esta obra la profunda y clara visión interna de un tema o de parte de un tema.) El pensamiento lateral se ha desarrollado como instrumento para el uso consciente y deliberado de la perspicacia.

La aplicación del pensamiento lateral y la enseñanza tienen su razón de ser en el hecho de que el último fin de ésta no es la memorización de los datos, sino su uso óptimo.

La mente opera creando modelos con los conocimientos adquiridos para su uso posterior.

La perspicacia y el ingenio se basan en una reestructuración de los modelos, al igual que la creatividad, aunque ésta exige ante todo la superación del efecto restrictivo derivado de la rigidez de los modelos. El pensamiento lateral tiene mucho en común con la creatividad; pero mientras esta última constituye con excesiva frecuencia sólo una descripción de resultados, el pensamiento lateral incluye la descripción de un proceso. Ante un resultado creativo sólo puede sentirse admiración; pero un proceso creativo puede ser aprendido y usado conscientemente. Cada vez se valora más la creat. Como factor de cambio y de progreso; se le confiere un valor superior al conocimiento técnico a causa de que éste es más asequible. La creat. es un modo de emplear la mente y manejar información. Tal es la función del pensamiento lateral. El pensamiento lateral tiene como fin la creación de nuevas ideas, normalmente se relacionan las ideas nuevas con el ámbito de la invención técnica; sin embargo, la invención de nuevos dispositivos técnicos es sólo uno de los múltiples aspectos que derivan de la creatividad. El pensamiento lateral tiene como función también la liberación del efecto restrictivo de las ideas anticuadas. Ello conduce a cambios de actitudes y enfoques, a la visión diferente de conceptos inmutables hasta entonces, a la visión diferente de conceptos inmutables hasta entonces. La liberación del efecto moralizador de las viejas ideas y el estímulo de nuevas ideas es una doble función del pensamiento lateral. En el pensamiento lateral se busca a veces información que nada tiene en común con el problema que se estudia; en el pensamiento vertical sólo se busca lo que está relacionado con dicho problema.

El pensamiento lateral no pretende sustituir al pensamiento vertical: ambos son necesarios en sus respectivos ámbitos y se complementan mutuamente; el primero es creativo, el segundo selectivo. El pensamiento lateral permite una investigación del concepto primario original, así como una comprobación de la corrección de cualquier conclusión, independientemente del grado de certeza que se posea a causa de su elaboración lógica.

El pensamiento lateral aumenta la eficacia del pensamiento vertical, al ofrecerle nuevas ideas para su elaboración lógica. El pensamiento lateral es un modo de usar la mente, constituye un hábito y una actitud mental.

EL PENSAMIENTO LATERAL

En todos los tiempos, en escuelas y universidades se ha estimulado y cultivado el pensamiento lógico o vertical, pero éste, si bien es eficaz, resulta incompleto. El pensamiento lógico, selectivo por naturaleza, ha de complementarse con las cualidades creativas del pensamiento lateral. El pensamiento lateral es el conjunto de procesos destinados al uso de información de modo que genere ideas creativas mediante una reestructuración perspicaz de los conceptos ya existentes en la mente.

El pensamiento lateral está íntimamente relacionado con los procesos mentales de la perspicacia, la creatividad y el ingenio. Se trata de una forma definida de aplicar la mente a un tema o problema dado, oponiendo nueva información con ideas viejas. Se obtendría así una modificación de la idea antigua como resultado de los nuevos conocimientos.

La enseñanza se fundamenta en el supuesto de que es suficiente una comunicación eficaz de la información para que ésta se ordene automáticamente en ideas útiles. Con ese fin hemos desarrollado medios para el mejor tratamiento de la información, tales como operaciones matemáticas y el pensamiento lógico. El método más eficaz para transformar ideas no es externo, como la contraposición de nuevas ideas, sino interno, mediante la reestructuración de la información disponible a la luz de la perspicacia (por perspicacia se entiende en el contexto de esta obra la profunda y clara visión interna de un tema o de parte de un tema.) El pensamiento lateral se ha desarrollado como instrumento para el uso consciente y deliberado de la perspicacia.

La aplicación del pensamiento lateral y la enseñanza tienen su razón de ser en el hecho de que el último fin de ésta no es la memorización de los datos, sino su uso óptimo.

La mente opera creando modelos con los conocimientos adquiridos para su uso posterior.

La perspicacia y el ingenio se basan en una reestructuración de los modelos, al igual que la creatividad, aunque ésta exige ante todo la superación del efecto restrictivo derivado de la rigidez de los modelos. El pensamiento lateral tiene mucho en común con la creatividad; pero mientras esta última constituye con excesiva frecuencia sólo una descripción de resultados, el pensamiento lateral incluye la descripción de un proceso. Ante un resultado creativo sólo puede sentirse admiración; pero un proceso creativo puede ser aprendido y usado conscientemente. Cada vez se valora más la creat. Como factor de cambio y de progreso; se le confiere un valor superior al conocimiento técnico a causa de que éste es más asequible. La creat. es un modo de emplear la mente y manejar información. Tal es la función del pensamiento lateral. El pensamiento lateral tiene como fin la creación de nuevas ideas, normalmente se relacionan las ideas nuevas con el ámbito de la invención técnica; sin embargo, la invención de nuevos dispositivos técnicos es sólo uno de los múltiples aspectos que derivan de la creatividad. El pensamiento lateral tiene como función también la liberación del efecto restrictivo de las ideas anticuadas. Ello conduce a cambios de actitudes y enfoques, a la visión diferente de conceptos inmutables hasta entonces, a la visión diferente de conceptos inmutables hasta entonces. La liberación del efecto moralizador de las viejas ideas y el estímulo de nuevas ideas es una doble función del pensamiento lateral. En el pensamiento lateral se busca a veces información que nada tiene en común con el problema que se estudia; en el pensamiento vertical sólo se busca lo que está relacionado con dicho problema.

El pensamiento lateral no pretende sustituir al pensamiento vertical: ambos son necesario en sus respectivos ámbitos y se complementan mutuamente; el primero es creativo, el segundo selectivo. El pensamiento lateral permite una investigación del concepto primario original, así como una comprobación de la corrección de cualquier conclusión, independientemente del grado de certeza que se posea a causa de su elaboración lógica.

El pensamiento lateral aumenta la eficacia del pensamiento vertical, al ofrecerle nuevas ideas para su elaboración lógica. El pensamiento lateral es un modo de usar la mete. Constituye un hábito y una actitud mentales.

La creatividad....

A menudo debemos afrontar situaciones nuevas, retos a los que no estamos acostumbrados. Y muchas veces nos quedamos atascados: por más vueltas que le damos al problema, no conseguimos encontrar el camino de salida. Necesitamos una solución creativa, y el pensamiento tradicional, basado en la experiencia y en la lógica, no siempre es el medio más adecuado para encontrarla. Llegado ese momento, conviene recordar que hay otras formas de pensar; que existen otras herramientas mentales que nos pueden ayudar a superar el reto con ingenio, es decir, debemos combinar los conocimientos adquiridos para solucionar situaciones nuevas de las que no se conoce de antemano un método mecánico de resolución.

Sin embargo, como todo en la vida, ser creativo no es fácil; esto debido a la gran cantidad de barreras que la misma sociedad le ha impuesto a la creatividad, pues, en nuestra sociedad aún existen los más extraños prejuicios. Unos dicen que solamente personas de gran talento pueden ser creativas; otros afirman que para ello es preciso tener una “inteligencia especial” que permita recordar las fórmulas, teoremas, definiciones, etc. Claro, no se puede negar que existen cerebros con capacidades excepcionales para una u otra actividad mental, pero tampoco se puede afirmar que haya cerebros absolutamente incapaces de asimilar los conocimientos indispensables, que luego pueda potenciar y resolver situaciones de manera creativa.

El presente blog pretende motivar a sus lectores para que con ayuda de situaciones y problemas de razonamiento lógico y lateral, sean capaces de relacionar los diferentes esquemas del aprendizaje y así tener una buena estructura cognitiva. Pues, se ha demostrado, que el desarrollo de la creatividad está directamente relacionado con el éxito académico y profesional, ya que potencia la capacidad para comprender conceptos, proponer y aplicar algoritmos, desarrollar nuevas aplicaciones de lo que ya existe, ect.

En conclusión, consideramos que si una persona aprende a potenciar su saber puede relacionar sus conocimientos con otras áreas y de esta manera crear conocimiento, es decir, ser creativo.

RAZONAMIENTO MATEMATICO

Las pruebas de Razonamiento Matemático, se han diseñado para medir habilidades que se relacionan con el trabajo. La habilidad de aplicar las matemáticas en situaciones nuevas y diferentes, es de gran importancia para el éxito.

Los ejercicios de razonamiento matemático miden la habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la Aritmética, el Álgebra y la Geometría. Se ha demostrado que ambas habilidades se relacionan con el éxito en las materias que se estudian en el nivel universitario.

Habilidad Matemática es aquella en que el aspirante es capaz de comprender conceptos, proponer y efectuar algoritmos y desarrollar aplicaciones a través de la resolución de problemas. En estas se consideran tres aspectos.

En Aritmética, operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) con números enteros y racionales, cálculos de porcentajes, proporciones y promedios, series numéricas y comparación de cantidades.

En Álgebra, operaciones fundamentales con literales, simplificaciones de expresiones algebraicas, simbolización de expresiones, operaciones con potencias y raíces, factorización, ecuaciones y funciones lineales y cuadráticas.

En Geometría, perímetros y áreas de figuras geométricas, propiedades de los triángulos (principales teoremas), propiedades de rectas paralelas y perpendiculares y Teorema de Pitágoras.

TÉCNICAS: CÁLCULO MENTAL

Cada vez parecen más raras las personas que son capaces de hacer cálculos sin ayuda, cálculos para los que la mayor parte de la gente recurre precipitadamente a la calculadora y tiene una fe ciega en el resultado, incluso aunque éste sea un verdadero disparate.

La calculadora es una muy buena herramienta que muchas veces es necesaria pero eso no debería ser excusa para dejar de ejercitar radicalmente la mente desde que se nos permite su uso en la escuela en edades cada vez más tempranas. Sería como dejar de hacer ejercicio por el hecho de disponer del coche.

Si dejásemos de hacer ejercicio y de caminar por “comodidad” resultaría que el día que quisiéramos echar mano de nuestras piernas éstas no estarían preparadas para soportar nuestro peso. Eso mismo es lo que ocurre si dejamos de usar nuestra mente y nos acomodamos más de la cuenta. Los niños recurren a la calculadora para realizar una multiplicación simple o para hacer sencillas sumas, si se han equivocado al escribir los cálculos y el resultado es un disparate normalmente les pasa desapercibido.

Algunas personas recurren a los dedos para realizar sumas y restas. Pero está claro que este sistema no es precisamente el más rápido. Si nos acostumbramos a realizar operaciones sencillas sin utilizar la calculadora, observaremos cómo vamos progresando satisfactoriamente en otras más complicadas. Nuestra mente se volverá más ágil a la hora de resolver otros tipos de situaciones que necesitan de una respuesta rápida.

Conociendo unos sencillos trucos mejorará nuestra actitud frente a muchas operaciones matemáticas, incrementaremos nuestra agilidad mental y como no, sorprenderemos a los que nos rodean. No es necesario papel ni calculadora, sólo pensar. Las reglas de cálculo son muy sencillas, es una cuestión de práctica y concentración.

Desarrollo del cálculo mental

Es posible que te hayas encontrado en algún momento con esta situación: estás en el supermercado y quieres saber si llevas suficiente dinero para pagar la compra, pero no tienes una calculadora. No necesitas saber con exactitud cuánto llevas gastado, bastaría con una aproximación. Esta situación puede ser resuelta de forma rápida utilizando el cálculo mental. Es posible conseguir resultados rápidos y sorprendentes con estas sencillas indicaciones:

1. Utilizar las tablas de multiplicar y la forma en que se realizaban las sumas en nuestra primera etapa escolar.

2. Repasar dichas tablas unas cuantas veces hasta que se hayan recordado y realizar sumas desde las más sencillas a las más complicadas.

3. Adquirir unos mínimos conocimientos matemáticos, ya que a veces puede ser necesario descomponer números complicados en otros más sencillos que faciliten el cálculo.

4. Utilizar el sentido común en estas situaciones.

Las bases de la operación suma

Las reglas para realizar mentalmente una suma parecen complicadas. Pero si las lees detenidamente verás que muchas ya las conoces.

· Conmutatividad. Es más sencillo sumar el número mayor con el menor que el menor con el mayor (6 + 3 y no 3 + 6). Y debido a esta propiedad de la suma, el resultado es el mismo.

· Conteo ascendente. Es más fácil contar de dos en dos o de tres en tres. Prueba a contar las monedas que llevas de esta forma.

· Dieces. Para sumar 10 a un número de una cifra, añadimos un 1 a la izquierda de dicho número.

· Dobles. Al sumar dos cifras iguales, doblamos el número.

· Dobles más uno. 57 + 58 se suma más fácil doblando el 57 (114) y añadiéndole 1, operación que da 115.

· Número misterioso. Para sumar dos números casi consecutivos, como 7 y 9, doblamos el número intermedio. Es decir, 8 + 8 = 16.0

· Los nueves. Para sumar 9 a cualquier número, sumamos 10 y restamos uno.

· La familia del 10. Para sumar muchos números, es más sencillo comenzar emparejando los que sumen diez.

· Buscando el diez. En una suma, descomponemos uno de los números para poder llegar a diez con el otro sumando.

La tabla de multiplicar

Al igual que con la suma, sólo tendrás que recordar unas reglas que ya aprendiste cuando estudiabas en el colegio.

· Conmutar: si sabes cuánto es 7 · 8 sabrás cuánto es 8 · 7. Escoge la opción que te resulte más fácil.

· Doblar: multiplicar por dos es lo mismo que sumar el número dos veces.

· Añadir un cero: si tienes que multiplicar un número por diez, añádele un cero a su derecha ¡y ya está!

· Doble y mitad: si tenemos, por ejemplo, 25 · 14, es más fácil doblar el 25 y después dividir entre dos 14. Es decir, 50 · 7 = 350.

· Cero y mitad: si tienes que multiplicar un número por 5, simplemente multiplícalo por diez y divídelo entre dos.

· Descomposición: si los números son de varias cifras, es más rápido descomponer uno de ellos en sumas o restas de números más pequeños. Por ejemplo,

57 ·13 equivale a (57 · 10) + (57 · 3).

· Patrones: los resultados se memorizan porque son curiosos o chocantes.

Multipliquemos con los dedos de las manos

Todos alguna vez hemos contado con los dedos de las manos. Pero lo que no todos saben es que también se puede multiplicar de una forma rápida y segura con ellos. Si te resulta difícil multiplicar a partir de número 5, sólo tienes que seguir las indicaciones que aparecen a continuación.

Asignamos a cada dedo un valor: desde el 6 para el pulgar hasta el 10 para el meñique.Con los pulgares hacia arriba, juntamos los dedos que corresponden en cada mano a cada uno de los números que queremos multiplicar. Mentalmente, asignamos a los dedos unidos y a los que queden por encima de los unidos el valor 10, y los sumamos. Contamos el número de dedos que quedan por debajo de los dedos unidos, el número de dedos en la mano derecha y el número de dedos en la izquierda. Se multiplican estos números y se suma el resultado de esta multiplicación a la cifra obtenida anteriormente.Como posiblemente te habrás hecho un lío, pincha sobre el siguiente ejemplo para verlo mucho más claro.

Sumas rápidas o cálculo pensado aditivo

Para calcular sumas de forma rápida existen varios métodos:

· Redondeo: buscamos que uno de los números acabe en cero mediante sumas y restas.

Ejemplo: 57 + 38 = (57 + 3) + (38 - 3) = 60 + 35 = 95

· Conteo: sumamos progresivamente a uno de los números, de izquierda a derecha, el otro; es decir, lo último que sumaremos serán las unidades, antes sumaremos las decenas, antes las centenas...

Ejemplo: 283 + 435 = (283 + 400) + 35 = 683 + 35 = (683 + 30) + 5 = 713 + 5 = 718

· Recolocación: agrupamos los números cuyas unidades sumen diez. Es más fácil sumar números que acaban en cero.

Ejemplo: 57 + 86 + 53 + 34 = (57 + 53) + (86 + 34) = 110 + 120 = 230

· Descomposición: separamos los sumandos en otros fáciles de sumar, intentando que acaben en cero o que sumen diez.

Ejemplo: 77 + 148 = 70 + 7 + 140 + 8 = (70 + 140) + (5 + 3) + 7 = 210 + (3 + 7) + 5 = 225

Estas mismas reglas sirven también para la resta, ya que esta operación es la inversa de la suma.

Cálculo pensado multiplicativo

Para calcular el resultado de una multiplicación podemos recurrir a algunos métodos que nos ayuden a hacerlo más rápidamente:

· Imagina que coges un lápiz y un papel, y representa mentalmente la operación.

· Utiliza el Método de la distribución, que consiste en descomponer uno de los factores en una suma de otros más sencillos.

Ejemplo: 8 · 4.211 = 8 (4.000 + 200 + 10 + 1) = 32.000 + 1.600 + 80 + 8 = 33.688

· Utiliza el Método de factorización, que consiste en transformar cada factor en pequeños productos de números más sencillos.

Ejemplo: 25 · 48 = (5 · 5) · (6 · 8) = (5 · 8) · (5 · 6) = 40 · 30 = 1.200

Estos mismos trucos se pueden aplicar también a la división, ya que esta operación se puede expresar como una multiplicación.

Resultados aproximados

Cuando nos interesa más obtener un resultado de forma rápida que la exactitud del cálculo en sí mismo, podemos recurrir a dos técnicas que nos dan resultados aproximados. Eso sí, hay que tener en cuenta que conllevan un error que será mayor cuanto más nos alejemos de las cifras reales.

· Redondeo: consiste en sustituir cifras por ceros. Para entenderlo, vamos a calcular el sueldo anual de un trabajador que cobra 1.207,75 euros al mes. Si multiplicamos 1.200 euros por 12 meses, obtendremos el resultado aproximado de 14.400 euros anuales, aunque la cifra real que esta persona percibe es de 14.493 euros.

· Truncamiento: con esta operación eliminamos decimales, que siempre dificultan la operación del cálculo matemático. Supongamos que Iñaki utiliza la calculadora para saber lo que se gastarán él y su mujer Ainhoa en la compra doméstica. Ella lo va calculando mentalmente: tiene en cuenta que si los céntimos son inferiores a 50 suma los euros que marca el precio, y si los céntimos son 50 o más añade un euro al precio. Antes de pasar por caja, Ainhoa le dice a su marido que la compra les costará unos 55 euros ¡y sin calculadora! Iñaki mira el resultado en la pantalla y observa sorprendido que el resultado son 54,68 euros. Así por ejemplo, si han comprado dos productos de 48,56 y 6,12 euros respectivamente (54,68 euros en total), Ainhoa ha podido calcular de forma aproximada que van a costar un total de 55 euros (49 + 6).

Raíces cúbicas enteras

Empezaremos por esta operación por ser la más sencilla. Para poder llevarla a cabo deberemos conocer perfectamente los cubos de los números del 1 al 9. Esta tabla:

NúmeroCubo112832746451256216734385129729

Primero os daré algunos consejos para memorizar la tabla. He sombreado de amarillo las columnas en las que el número al cubo acaba con el mismo número que el que elevamos. Por ejemplo, 9 al cubo es 729, 729 termina en 9.

Fijaos que cada resultado termina por un número diferente.Los primeros 5 cubos son muy comunes y seguramente ya os sean familiares, el número 8 al cubo es 512, este también es muy común para mis compañeros de gremio, los informáticos. En caso de que estos 6 cubos ya os resulten familiares sólo tendríais que aprender 3 cubos, los del 6, 7 y 9, de estos 3 cubos hay 2 sombreados de amarillo. Bueno, que como veis es muy fácil hacerse con estos 9 cubos y más cuando os diga que esto os permitirá sacar 100 raíces cúbicas exactas.¡Vamos allá!Pedimos a alguien que eleve al cubo un número del 1 al 100 y nos diga el resultado, nosotros seremos capaces de desvelar al número que se ha elevado, la raíz cúbica.Suponemos que se ha elegido el número 54.543 = 157.464El resultado lo vamos a partir en 2 números, la parte del número anterior al punto de los miles y la posterior:Anterior: 157. Como ya conocemos perfectamente la tabla anterior, sabemos que 157 está entre 125 y 216, los cubos de 5 y 6, con esto ya sabemos que la decena es 5.Posterior: 464. Acaba en 4, igual que 4 al cubo (64), así que las unidades son 4.La raíz cúbica de 157.646 es 54Algunos ejemplos más para que quede claro del todo:Ejemplo 2: 571.787Anterior: 571. Esta entre 512 (83) y 729 (93), esto nos dice que la cifra de las decenas es 8.Posterior: 787. 33 termina en 7, unidades 3.Resultado: 83Ejemplo 3: 6.859Anterior: 6. Esta entre 1 (13) y 8 (23), decenas 1.Posterior: 859. Termina en 9, igual que 93, unidades 9.Resultado: 19CuadradosEsta técnica nos permitirá calcular los cuadrados del número 1 al 100. Este es un excelente ejercicio, hay que hacer unos cuantos pasos mentalmente y os aseguro que sorprende como aumenta la velocidad del cálculo a medida que se practica. Veamos en qué consiste.Estas cosas se entienden mejor con un buen ejemplo, así que vamos al grano:Vamos a elevar el número 97 al cuadrado.Es más sencillo hacer una multiplicación por 100 que por 97, así que vamos a seguir estos pasos:

PasoOperaciónExplicación: 1100 – 97 = 3. Calculamos la diferencia entre el número que calculamos y la decena más cercana , 3297 – 3 = 94. Nos alejamos 3 unidades de la decena más cercana, restamos el resultado anterior al número que elevamos al cuadrado .394 * 100 = 9400El resultado anterior lo multiplicamos por la decena más cercana.432 = 9Hacemos el cuadrado del resultado del paso 1.59400 + 9 = 9409Sumamos el resultado anterior al del paso 3.972 = 9409Otros ejemplosDe forma un poco más rápida calculamos 22222 – 20 = 2Esta vez hemos puesto en primer lugar el 22 en vez del 20 , no importa, no nos interesa el signo del resultado22 + 2 = 24Nos alejamos 2 unidades de la decena más cercana, sumamos 2 (antes tuvimos que restar para alejarnos).24 * 20 = 480Decena más cercana por resultado anterior480 + 22 = 484Resultado anterior más 22Ahora uno un poco más complicado: 76280 – 76 = 44 unidades para llegar a la decena más cercana76 – 4 = 72Nos alejamos 4 unidades.72 * 80 = 5760Resultado por decena más cercana.5760 + 42 = 5776Resultado más 42Explicación matemáticaPrimero desarrollamos un cuadrado normal y corriente con la archiconocida fórmula:ab = (10 · a) + b(ab)2 = (10a + b)2 = (10a + b) · (10a + b) = 100a2 +20ab + b2Hasta aquí estamos todos de acuerdo. Ahora vamos a ver qué pasa si en vez de hacer el cuadrado cojo ese número, le sumo c, le resto c, y multiplico esos 2 resultados. No me miréis así! Es lo que hemos hecho antes: 97 --> (97 + 3) , (97 – 3)(10a + b + c) * (10a + b – c) = (100a2 + 10ab – 10ac) + (10ab + b2 – bc) + (10ac +bc – c2) = (100a2 + 20ab – b2) – c2El resultado es el mismo que antes pero restando c2, así que si restamos c2 obtendremos el mismo resultado.Bueno, esta es la explicación matemática de porqué funciona lo que hemos hecho antes.Trucos y consejosA medida que practiquéis os daréis cuenta de algunos “truquillos”. Por ejemplo, las operaciones son más sencillas si nos acercamos a 100 o 50 porque la operación es muy sencilla, de esta forma podríamos aprovechar esto para ir más rápido en el cálculo, por ejemplo si queremos hacer 922 será más fácil si nos acercamos a 100 que a 90, vamos a verlo:100 – 92 = 88 unidades para llegar a 10092 – 8 = 84Nos alejamos 8 unidades.84 * 100 = 8400Resultado por 100 .8400 + 82 = 8464Resultado más 82Otro truco que nos permitirá ir más deprisa, es el cuadrado más 1 .¿Qué pasa si nos piden el cuadrado de 41? Rápidamente podríamos calcular el cuadrado de 40, que es 1600.412 = (402) + (40*2) + 1 = 1600 + 80 + 1 = 1681La fórmula conocida por todos es esta:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1Debo decir que hay calculistas profesionales a los que este método no les resultará cómodo porque les es más fácil hacer la multiplicación directamente de cabeza sin hacer estos pasos intermedios y prefieren utilizar siempre el mismo método y no perder tiempo en buscar estos atajos que van tan bien para la mayoría de mortales.Raíces CuadradasVamos a calcular raíces cuadradas para números del 1 al 1000. Para hacer satisfactoriamente esta operación debemos conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31.

Voy a apuntarlos.11121214413196112144224841316923529141962457615225256251625626676172892772918324287841936129841Los cuadrados hasta el 16 son muy típicos y es probable que ya los sepáis de memoria, también son muy típicos y fáciles los que acaban en 0 o en 5.Este método nos dará un resultado aproximado, cuando más alto sea el número más cercano será nuestro resultado al real, también dependerá de nuestra agilidad en el cálculo y de nuestra pericia.Veamos en qué consiste el método:Vamos con dos ejemplos que así es como se aprende:Queremos calcular la raíz cuadrada de 110.PasoCálculoExplicación1Raíz entera ( 110 ) = 10Al conocer perfectamente los cuadrados del 1 al 31 no nos costará identificar el entero.2110 – 102 = 10A 110 le restamos 1023( 10 / 10 ) / 2 = 0,5El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.410 + 0,5 = 10,5El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.El primer ejemplo es fácil de calcular pero tanto 10 puede confundir, vamos con otro y se acabará de entender:Raíz cuadrada de 430PasoCálculoExplicación1Raíz entera ( 430 ) = 20Esta vez el entero es 20 .2430 – 202 = 430 – 400 = 30A 430 le restamos 2023( 30 / 20 ) / 2 = 1,5 / 2 = 0,75El resultado anterior lo dividimos por el entero del paso 1 y el resultado lo dividimos entre 2.420 + 0,75 = 20,75El resultado anterior más el entero nos da el resultado definitivo.Este método se tiene mucho que ver con la fórmula que hemos visto antes:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1La siguiente gráfica nos muestra la diferencia que hay entre los resultados obtenidos y los reales, tal y como he dicho antes, se observa que la diferencia va disminuyendo a medida que los números crecen.Al principio la diferencia es brutal, la raíz cuadrada de 2 sale 1,5 y la de 3 no sabríamos muy bien como hacerla. Más adelante explicaré algunos trucos para que el resultado obtenido se aproxime más al real.De momento vamos a ver otro ejemplo en el que los resultados no son tan favorables y nos invitan a modificar algún paso:Raíz cuadrada de 319PasoCálculoExplicación1Raíz entera ( 319 ) = 17Vemos que 319 es muy cercano a 182 = 3242182 – 319 = 324 – 319 = 5Esta vez prefiero acercarme al número ( 319 ) por encima (324).3( 5 / 18 ) / 2 = 0,27 / 2 = 0,13El resultado anterior lo dividimos por 18, ya que me acerqué esta vez por el cuadrado de 18 y el resultado lo dividimos entre 2.418 – 0,13 = 17,87El resultado anterior lo resto de 18 y obtenemos el resultado definitivo.Por José María Bea González: http://www.josemariabea.com/

Cáculo mental

Cálculo mental

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas. La práctica del cálculo mental favorece que el estudiante ponga en juego diversas estrategias. Es la actividad matemática mas cotidiana y la menos utilizada en el aula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentraciòn, además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable permitir el descubrimiento de reglas y la selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental.

Sumas y restas
Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar directamente. Lo mismo ocurre con las restas.
En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculistas como Alberto Coto proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya acarreos.

Ejemplos:
Calcular 456 + 155:
456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda)
456 + 155 = 456 + 4 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera)
456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha)

Calcular 876 - 98:
876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)
876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))
876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)

Calcular 634 - 256:
634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)

Duplicación y mediación
Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.

Ejemplo: multiplicar 173 × 16:
Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.
La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar.
Ejemplo: multiplicar 376 × 125
Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.
376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.
Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.
También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.
Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10
Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1, se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas.
Ejemplo: multiplicar 28 × 99
28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772
Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121
121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477
Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:
Multiplicar:
12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 135795
8946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406
Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63.
Multiplicación por 37
Primero, basta recordar lo siguiente:
37 × 3 = 111
37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1
El procedimiento es este:
Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74.
Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.
Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.
En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.
Se suma todo.
3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478.
Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo).
Más ejemplos:
37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998
37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923
37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923
Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27.
Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados:
74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476
111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)
148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904
Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy sencilla, ya que en la cadena 142857142857... basta con tomar seis dígitos consecutivos a partir de una posición dada:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):
142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449
Igualdades notables y cálculo de cuadrados
Las llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) (a - b) = a² - b²
Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras
Las dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos. Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.
(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704
Más ejemplos:
17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289
76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776
95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025
Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra entera y una decimal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:
2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76
Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por lo que pueden utilizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento, pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:
5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6.724 = 33.431.524
Producto de dos números que equidistan de un número cuyo cuadrado es conocido
El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.
(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596
Más ejemplos:
77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400 - 9 = 6391
95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000 - 25 = 9975
128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19800 - 144 = 19656
Cuadrado de un número acabado en 5
El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b = 5:
(a + 5) (a - 5) = a² - 25
Por tanto, se tiene que:
(a + 5) (a - 5) + 25 = a²
Si a = 65, el resultado es el siguiente:
65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.
Más ejemplos:
35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225
105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025
255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025
En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.
Cubos y potencias superiores
El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:
954 = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda cifra de 9025 sea un cero)
Cálculo de logaritmos (en base 10)
Para aproximar el logaritmo común o en base 10 con una o dos cifras significativas, se requiere conocer algunas propiedades de los logaritmos y la memorización de algunos logaritmos. En particular, es necesario saber lo siguiente:
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a : b) = log(a) - log(b)
log(0) no existe
log(1) = 0
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(7) ~ 0,85
log(10) = 1
Si a > b, forzosamente log(a) > log (b). En lenguaje matemático, se dice que la función logaritmo es creciente.
A partir de esta información, se puede calcular el logaritmo de cualquier número del 1 al 9:
log(1) = 0
log(2) ~ 0,30
log(3) ~ 0,48
log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ 0,60
log(5) = log(10 : 2) = log(10) - log(2) ~ 0,70
log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ 0,78
log(7) ~ 0,85
log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ 0,90
log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ 0,96 (en realidad, se acerca más a 0,95)
log(10) = 1
El primer paso para aproximar el logaritmo común de un número es expresar dicho número en la notación científica. Por ejemplo, el número 45 en notación científica es 4,5 × 101. En general, tendremos un número de la forma a × 10b, donde a es un número entre 1 y 10. El segundo paso es utilizar lo que se llama interpolación lineal para estimar el logaritmo que queramos calcular a partir de dos ya conocidos. En el ejemplo del 45 (= 4,5 × 10), se parte de que log(4) ~ 0,60 y log(5) ~ 0,70, y como 4,5 está a medio camino entre 4 y 5, log(4,5) estará aproximadamente a medio camino entre log(4) y log(5), por tanto, será aproximadamente 0,65. En realidad, el resultado correcto siempre es ligeramente mayor de lo esperado, de hecho, log(4,5) = 0,6532125... El tercer y último paso, una vez obtenido log(a), es sumarle b para obtener el logaritmo deseado. En este caso, como log(4,5) ~ 0,65, basta añadir 1 para obtener log(45) ~ 1,65. El valor real es log(45) ~ 1,6532125...
El mismo proceso se puede emplear para calcular el logaritmo de un número entre 0 y 1. Por ejemplo, 0,045 en notación científica se expresa como 4,5 × 10-2. Hay que tener cuidado con este exponente, que es negativo. Esto dará lugar al resultado log(0,045) ~ 0,65 - 2 = -1,35.
Otro método es calcular el logaritmo del número a partir de una factorización de números cuyos logaritmos sean conocidos. En el ejemplo anterior, 45 = 9 × 5, por tanto, log(45) = log(9) + log(5) ~ 0,96 + 0,70 = 1,66.
Verificar el resultado
Hay varias formas de comprobar si el resultado al que se ha llegado es el correcto:
Orden de magnitud: Si, tras multiplicar dos números menores de 100, el resultado es mayor de 10.000, seguro que hay algún problema. En una multiplicación de dos factores, hay que comprobar que el resultado tiene un número de cifras igual, o una unidad mayor (según el caso) que la suma de las cifras de los factores. A menudo los errores en el orden de magnitud se deben a una mala posición de uno de los números a la hora de sumar los productos parciales. Por ejemplo, multiplicar 65 × 205 en lugar de 65 × 25, o viceversa.
Cifra de las unidades: Consiste en comprobar que la última cifra del resultado es correcta vista la última cifra de cada uno de los números con que se parte. Por ejemplo, 73 × 64 debe terminar en 2, ya que 3 × 4 = 12. Esta verificación permite conocer una cifra con certeza.
Prueba del nueve: Esta verificación se basa en la suma de las cifras de cada uno de los factores y del resultado hasta que sólo queden números de una cifra. Por ejemplo, si nos queda 73 × 64 = 4662, podemos comprobar si es cierto sumando las cifras de cada uno de los números:
7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1
6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1
4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9
Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que revisar de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es 4672) Este método es bueno para detectar errores de acarreo.
Conclusión
En general, el cálculo mental consiste en modelar los números de la forma más conveniente para realizar las operaciones prescritas. Para desarrollar una mayor agilidad en el cálculo mental, es útil:
Conocer algunas potencias de números pequeños, como 2, 3 y 5. En muchos casos, un producto se puede escribir de otra forma más conveniente si se juega con los factores. Por ejemplo, 65 × 27 es más fácil de calcular si se entiende el producto por 27 como productos sucesivos por 3.
Conocer algunos cuadrados y saber utilizar las igualdades notables y la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar el cálculo. Por ejemplo, 13 × 18 es lo mismo que 13 × (17 + 1) = 13 × 17 + 13. Mediante las igualdades notables, 13 × 17 = 225 - 4 = 221, así que el resultado final es 234.

Trucos psicotécnicos

“Aquí vienen ciertos trucos para la mejor realización de los test psicoténicos, además de estos trucos vienen ciertas explicaciones sólo a efectos de recordar cómo se hacen o formas de agilizarlas, en todo caso, habrá de entenderse esto como una alternativa diferente a la habitual para realizar diferentes ejercicios, en algunos casos se sutituye una forma relativamente compleja por varias sencillas, con lo que se podría realizar o bien mentalmente o más rápido que en otros casos. Sin embargo hay que decir que algunos ejercicios necesitan ser trabajados, se aprenden rápido pero cuanto más se trabajen mejores resultados se pueden obtener”.

MATEMÁTICOS

1. Calcular el 50% es igual a dividir por 2 (el 50% de 350 = 175)

2. Calcular el 25% es igual a dividir por 4 (el 25% de 350 = 87,5)

3. Multiplicar por 0,5 es igual a dividir por 2 (350 x 0,5 = 350 : 2 = 175)

4. Multiplicar por 0,25 es igual a dividir por 4 (350 x 0,25 = 350 : 4 = 87,5)

5. Dividir por 0,5 es igual a multiplicar por 2 (350 / 0,5 = 350 x 2 = 700)

6. Dividir por 0,25 es igual a multiplicar por 4 (350 / 0,25 = 350 x 4 = 1400)

7. Para multiplicar por 5 se añade un cero a la cantidad y luego se divide entre dos(350 x 5 = 3500 : 2 = 1750)

8. Para dividir entre 5 se divide la cantidad entre 10 y luego se multiplica por dos(350 : 5 = 35 x 2 = 70)

9. Multiplicación por once (x 11). Una forma de multiplicar por 11, es primero hacerlo por 10 y luego sumarle el número a multiplicar:3.719 x 11 = 3.719 x 10 + 3.719 = 37.190 + 3.719 = 40. 909.

10. Multiplicación por once (x 11) 1º La última cifra de la cantidad a multiplicar será la última cifra del resultado2º Se suman los dos últimos dígitos y su resultado será el penúltimo dígito del resultado, si da un resultado de dos dígitos se pone el último de ellos y el primero se lleva3º Se suman el penúltimo dígito y el siguiente más el resto (si lo lleva)4º Se suman el antepenúltimo dígito y el siguiente (más el resto)5º Se sigue el mismo proceso hasta llegar al último dígito, suponiendo que ya sea este se pone directamente como primera cifra, si llevamos resto habría que sumárselo.

11. Multiplicación por 11 (x 11). Otra forma de multiplicar por once sería hacerlo primero por diez y luego sumarle el número 3.719 x 10 = 37.190 + 3.719 = 40.909

12. Multiplicación por quince (x 15)

1º Se divide entre 2 el número a multiplicar

2º Se suma el número a multiplicar con el resultado de la operación anterior

3º Se multiplica por 1046 x 15 46 :2 = 2346 + 23 = 69 x10 = 690

13. División entre quince (:15)

1º Se divide entre diez al número

2º Ahora se divide entre 3

3º Se multiplica entre dos 2.580 : 10 = 258 : 3 = 86 x 2 = 172 3.000 : 10 = 300 : 3 = 100 x 2 = 200

14. Multiplicación por veinticinco (x 25)

1º Se divide el número a multiplicar entre 4

2º El resultado se multiplica por 100

3º 42 x 25 = 42 : 4 = 10´5 x 100 = 1.050 3.753 x 25 = 938 ´25 x 100 = 93.825

15. División entre 25 (: 25)

1º Se divide entre 100

2º Se multiplica por 48150 : 100 = 81´5 x 4 = 326

16. Multiplicación de números de 2 cifras:

1º Multiplicamos las últimas cifras (último dígito del resultado, si son dos se lleva la primera cifra)

2º Multiplicamos en cruz (lo que indica el propio signo de multiplicación), el segundo dígito del resultado

3º Multiplicamos las 2 primeras cifras (el primer o primeros dígitos del resultado)

17. Multiplicación de dos términos terminados en la misma cifra

1º Se multiplican los dos últimos dígitos entre sí, su resultado será la última cifra

2º Se suman los dos primeros numeros entre sí y se multiplican por el último término (si acaba en uno, por uno, si acaba en dos por dos, etc.), si de esta multiplicación quedaran dos términos se cogerá el último como penúltimo dígito del resultado y el primero se llevaría.

3º Se multiplican las primeras cifras y se suman las que se llevan, si se lleva alguna, el resultado serán las dos primeras cifras

18. Para multiplicar 2 cifras de dos dígitos cada una y terminados en 5

1º Se suman los dos primeros dígitos de ambas cifras

2º Su resultado de divide entre 2 (si la cifra es par terminará en 25 y, si es impar en 75)

3º Se multiplican los dos primeros dígitos y a su resultado se le suma la cantidad del 2º caso y lo que dé, serán las dos primeras cifras.

19. Multiplicación de potencias de dos dígitos

1º Se multiplican los últimos dígitos, cogemos el último número y llevamos el primero

2º Multiplicamos los términos entre sí y luego por 2, cogemos el el último número y llevamos el primero.

3º Multiplicamos por sí misma la primera cifra

20. Potencias de 2 dígitos acabados en 5

1º Siempre van a acabar en 25, estas serán siempre los dos últimos dígitos

2º El primer dígito se multiplicará por el inmediatamente superior, es decir, si es el 3 se multiplicará por el 4, si es el 7 por el 8, si es el 9 por el 10, etc. y el resultado serán las dos primeras cifras.

21. Multiplicación de dos números comprendidos entre 90 y 100 (ambos números)

1º Se calcula en ambos números la diferencia que hay al cien, quedarán dos números, uno por cada multiplicando, se suman estos números entre sí

2º Con el resultado se calcula la diferencia que hay al cien y serán los primeros 2 dígitos

3º Se multiplican los números que resultaron del primer paso entre sí y el resultado serán las últimas 2 díg., si el resultado fuese un solo dígito se le pondrá un 0 delante, es decir, si da nueve se entenderá que es 09

22. Cuando estamos apurados intentando calcular algo, a veces, no nos damos cuenta de los detalles más tontos, por eso, cuando se multiplica, si se repite un número en la multiplicación, no lo multipliques dos veces, es decir, si aparece el nº 4.547 x 7.572, el 7, lo multiplicas una vez y cuando llegues al otro siete, sólo tienes que copiar la operación del primero o bien ¿quién no ha multiplicado alguna vez por uno en vez de poner la cifra directamente?, en fin, hay que tratar de evitar estas pérdidas de tiempo

23. Si ponen una multiplicación cualquiera, quizás no sea necesaria realizarla, por ejemplo, si nos dicen de multiplicar 523 x 937, nos fijamos en las últimas cifras el 3 y el 7 que multiplicados son 21, es decir, que sea el número que sea tiene que acabar en uno, si entre las respuestas sólo hay una cantidad que acabe en uno, habrá de ser esta.

24. En relación con el anterior, también puede valer el cálculo aproximado, por ejemplo, en vez de multiplicar el 523 x 937 (=490.051), hagámoslo así, 523 x 900 = 470.700, si las cantidades que hay como respuestas son muy dispares, puede servir este truco, sobretodo en conjunción con el anterior.

25. Si además tienen decimales, a veces, no hace falta más que mirar cuántos son éstos, por ejemplo, si nos dicen multiplicar 35´42 x 52´27 el resultado tiene que tener cuatro decimales, dos por cada cantidad, hay que tener cuidado que, si el resultado acaba en 0 este se puede suprimir.

26. Cuando nos hacen la típica pregunta de: un padre tiene 45 años, y su hijo 13, ¿cuántos años tendrán que pasar para que el padre duplique la edad del hijo?, la fórmula sería:E + X = 2 (e + X)45 + X = 2 (13 + X);45 + X = 26 + 2X;45 - 26 = 2X - X;19 = X19 + 13 = 32 19 + 45 = 6427.

28. Siempre que la suma de impares sea impar, el resultado será impar.3 + 5 + 8 + 9 + 2 = 27 resultado impar por haber 3 impares y 2 pares- PORCENTAJES -29. Para calcular el % de una cantidad se multiplica por 100 el porcentaje y el resultado, se multiplica por la cantidad. (el 15% de 3.500, 15 : 100 = 0´15 x 3.500 = 525)El 45% de 2.000 = 0´45 x 2.000 = 90030. Si nos dan 2 cantidades y hay que hallar el porcentaje que hay entre ellas, hay dos formas, pero ésta, es la más rápida. Se restan las dos cantidades y se hace una regla de tres simple con la cantidad resultante y la mayor de las dos cantidades iniciales, el resultado es el porcentaje que las separa.Algo costaba 30.000 € y ahora cuesta 23.000 € ¿Cuál es el tanto por cien que me descontaron?30.000 - 23.000 = 7.00030.000 -------- 1007.000 -------- XX = 700.000/30.000 = 23´33 % C-c=d// x=d·100/CSi se quiere calcular la cantidad pagada, se resta al 100% el resultado = 76´67%31. Calcular en qué cantidad se convierte otra si se le aumenta o disminuye un porcentaje, hay dos formas:Si a 327 € le aumentamos un 37% ¿En qué cantidad se convierte?1ª el 37% de 327 = 120´99327 + 120´99 = 477´992ª (+ Rápido)327 ------- 100% X ------- 137% X= 327 · 137 / 100 = 477´99C·(100+%)/10032. Calcular una cantidad conociendo el tanto por ciento El 32% de una cantidad es 536. Calcula dicha cantidad32 % ------ 536100% ------ XX= 53600/32= 1.675 C·100/%- REPARTO PROPORCIONAL -33. - Si se quiere repartir en partes directamente proporcionales 1.520 € a 3, 5 y 23X + 5X + 2X = 1.520 10X = 1.520X = 1.520/10 = 1523X = 3 · 152 = 4565X = 5 · 152 = 7602X = 2 · 152 = 30434. - Reparto directo de 15.600 a 2/5, 4/3 y 1/42X/5 + 4X/3 + 1X/4 = 15.60024X + 80X + 15X = 936.000119X = 936.000X = 936.000/119 = 7865´52X/5 = 2/5 · 7865´5 = 3.146´24X/3 = 4/3 · 7865´5 = 10.487´31X/4 = 1/4 · 7865´5 = 1.966´335. - Repartir 58 en directamente a 6 y 8 e inversamente a 2 y 3 (inverso de 2 y 3 = 1/2 y 2/3)Se multiplican los términos de la serie directa por los de la serie inversa6 · 1/2 = 6/2 8 · 1/3 = 8/36X/2 + 8X/3 = 589X + 8X = 174 17X = 174X = 174/17 = 10´2356X/2 = 6 · 10´235/2 = 30´7068X/3 = 8 · 10´235/3 = 27´294 - SERIES -En las series de números, se plantean varios números y entre ellos hay alguna lógica, por lo normal desbes descubrir cuál es el número qué sigue, en otras ocasiones debes decir el segundo número o los dos últimos, el número que sobra, alguno que falta en medio, etc., las series pueden ser de números, letras, fichas de dominó, cartas de la baraja, etc. todos son lo mismo, lo único que hay que tener en cuenta es en que base trabajan, con los números son infinitos, pero las letras son 27 (sin contar la “ch”, y la “ll”), que las fichas de dominó trabajan en base 6, etc.36. Puede ser una sucesión de números: 1 - 2 - 3 - 4 - ?;2 - 4 - 6 - 8 - ?;3 - 5 - 9 - 11 - ? hay que fijarse de que esta sucesión puede ser de un numero contreto, como puede ser de dos en dos, de 15 en 15 etc, también por numeros pares o impares, etc.37. Puede ser que sume o reste una cantidad concreta: 1 - 6 - 11 - 16 - ?;25 - 28 - 34 - 43 - ?esta suma puede ser doble, es decir, que además de sumar un número, éste también se sume: en la segunda serie vemos que del 25 al 28 hay 3 y del 28 al 34 hay 6 (3+3) y del 34 al 43 hay 9 (3+3+3)38. Dentro de las sumas, también se pueden sumar con el anterior: por ejemplo en la serie 1 - 2 - 3 - 5 - 8, vemos un 1 que sumándole el 2 da 3, éste sumado con el 2 da 5 etc., vendría quedando así: 1 + 2 = 3 + 2 = 5 + 3 = 8 y si siguiéramos 5 + 8 = 13En vez de sumar se pueden restar, multiplicar o dividir 2 - 2 - 4 - 8 - 32 - 256Cuando en una serie los números ascienden demasiado es porque hay multiplicación.39. Hay series de este tipo:4 - 9 - 16 - 25 - 36;9 - 27 - 81 - 243;3 - 5 - 9 - 17 - 33en la primera serie sería: 22 - 32 - 42 - 52 - 62, en la 2ª: 32 - 33 - 34- 35 y en la tercera serie: 2x2=4-1=3x2=6-1=5x2=10-1=9x2=17x2=34-1=33, o sea, x2 y -140. En todos los casos se suelen complicar intercalando varias series, no suelen ser más de dos series, aunque si hay muchos números puede haber una tercera serie, por ejemplo:25 - 1 - 28 - 2 - 34 - 3 - 43 - ?A veces, intercalan un número fijo, 25 - 25 - 28 - 25 - 34 - 43 - 25 - ?Hay muchas otras formas de crear series, cuantas más conozcas más rápidamente podrás encontrar la solución por lo que sería conveniente continuar buscando posibles sistemas de series.- MEMORIA -41. Este es un truco que hay que trabajarlo pero que es muy efectivo una vez asimilado. Consiste en asignar a cada número un objeto, una persona o algo que se familiarice con dicho número, por ejemplo, el 1 lo podemos familiarizar con una chimenea, con un lápiz, etc., por su forma, también con la luna, con Dios, etc. porque hay uno, en fin, tú buscas la analogía que mejor se aproxime a ese número para poder recordarlo siempre. 42. Otra forma de buscar palabras es asignándole a cada dígito una sola letra, esta letra debe ser consonante y con ella formar las palabras según el número que se trate. Por ejemplo:Vamos a asignar al nº 1 la letra L, al 2 la D, al 3 la M, al 4 la R,al 5 la S, al 6 la G, al 7 la T, al 8 la B, al 9 la P y al 0 la C, (hay letras que podrían ser más exactas al número, pero podrían dificultar luego el ejercicio). Una vez asignadas las letras a los números sólo es buscar las palabras adecuadas formándolas con estas letras, así podría quedar que el número 10 fuese LoCo, la L por el 1 y la C por el 0, las vocales son lo de menos, el 33 MoMia, el 74 ToRo, etc.Sería conveniente llegar hasta el nº 100, de esta manera luego los trucos con números serían mucho más fáciles.43. Podemos acordarnos de los números, imaginémonos que nos dan para recordar el número: 9 5 5 6 3 2 2 1 4 5 6 7 8 5 6 3 2 1 5 4, podríamos pensar en lo siguiente:"Una nube agarrada por 2 manos que están encima de un sofá y son de un coronel, tiene a su lado un cisne (22) y en la cola de éste y muelle (14) sujeto por una mano, que está apoyada en otro sillón, al lado una bola de cristal que tiene unas gafas sujetas por otra mano y ésta apoyada en otro sillón y otro coronel que está en un camión con la mano en una mesa."Bien, es cierto que, para acordarse de esto es un rollo, pero creo que si nos dan poco tiempo para recordar un número de 20 dígitos como es este, sería mejor utilizar algún sistema, y este es uno. El mayor problema que presenta es que es secuencial, es decir, que necesitas ir uno a uno para recordar el número, que si te preguntan: ¿cuál es el quinto número o el décimoquinto o el décimonono? será bastante difícil recordarlo sin ir uno a uno o desde algún número clave, sí, no sería mala idea cada cinco unidades saber que tienes uno clave y también dividir las cifras de 10 en 10 o algo así.- PERCEPCIÓN LÓGICA - Si nos ponen ejercicios del tipo: a la palabra COMENDADORA le corresponde el número 12345676287, ¿qué número corresponde a la palabra REDOMADA?a) 84627367 b) 84623776 c) 84623767 d) 4862376744. Fíjate que, sólo la “d” no empieza por 8, miramos la R y vemos que equivale a 8, por lo que la “d” queda descartada.En las demás respuestas, todas empiezan por el 8462, por lo que no vamos a mirar estos números (con lo que ahorramos mucho tiempo), ahora podemos hacer dos cosas, vemos que la “b” y la “c” siguen con 37 y por otro lado que la “a” y la “c” terminan en 7, como en el 37 también hay un 7 mejor miramos este número y así matamos dos pájaros de un tiro, vemos que el 7 equivale a la A, por lo tanto la “b” queda descartada, pues termina en 6 y este número equivaldría a la letra D. Ahora sólo quedan como posibles respuestas la “a” y la “c”, como las cuatro primeras letras -8462- no nos interesan vemos que en la respuesta “a” le sigue un 7 ,que sabemos que es una A y en la respuesta “c” vemos que hay un 3, que no sabemos a que letra corresponde, pero no importa pues como sabemos a que letra corresponde el 7 comprobaremos esta respuesta y.- VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES - 45. Variaciones: son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto en el que importa el orden. Es muy sencillo, si nos dicen que hay 10 bolas de colores y que tenemos que ordenarlas en grupos de 3 y preguntan cuántos de estos grupos podremos formar haremos asi:V10,3= 10 · 9 · 8 = 720, como se ve, se parte de la cantidad total y se calcula un factorial (n!) del número de elmentos de la variación, en este caso tres.46. Permutaciones: es saber de cuántas formas podemos ordenar algo, es decir, si tenemos 5 bolas, cada una de un color diferente y queremos saber cuántas filas diferentes podemos ordenar (rojo, verde, azul, gris, blanco o verde, azul, gris, blanco, rojo, etc.), para ello se halla el factorial del número total de opciones (Pn!), en el caso de las bolas sería:P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 posibilidades47. Combinaciones: esto viene a ser una variación partido por una permutación, no importa el orden¿Cuántas parejas se podrían formar con 20 personas?1º Tenemos un conjunto de 20 elementos y tenemos que cogerlos de 2 en 22º No importa el orden, es la misma pareja Juan y Rosa que Rosa y Juan3º C20,2 = V20,2/P2 = 20 · 19/2 · 1 = 190 parejas(el factorial - n! - es la multiplicación de un número por todos los números menores que él, es decir, el factorial de 6 es: 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6)